第 12 类 RD Sharma 解 – 第 20 章定积分 – 练习 20.1 |设置 2

简介

本篇文章将介绍RD Sharma数学教材第12类第20章定积分练习20.1的解题方法。定积分是高等数学中的重要概念，需要掌握积分的定义和性质，以便解决各种数学问题。

解题步骤

1. 阅读问题：仔细阅读练习题，理解问题的要求和给定条件。
2. 确定积分范围：根据题目中给出的积分区间，确定积分的上下限。
3. 分析函数：对被积函数进行分析，通过观察和运用定积分的性质，确定积分的具体计算方法。
4. 计算定积分：根据上述分析，计算出定积分的值。
5. 检查结果：对计算出的积分值进行检查，确保结果的准确性和完整性。

解题示例

我们以一个具体的数学问题为例，演示解题步骤。

题目：计算定积分 $\int_0^2 (2x^3 - 3x^2 + 4x - 1)dx$。

步骤1：阅读问题：题目要求计算给定函数在积分区间 [0, 2] 上的定积分值。

步骤2：确定积分范围：给出的积分区间是 [0, 2]。

步骤3：分析函数：被积函数为 $2x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，根据定积分的线性性质，可以将积分拆分为每一项的积分。具体计算方法如下：

$\int_0^2 (2x^3 - 3x^2 + 4x - 1)dx \ = \int_0^2 2x^3 dx - \int_0^2 3x^2 dx + \int_0^2 4x dx - \int_0^2 dx \ = \left[\frac{1}{2}x^4 \right]_0^2 - \left[x^3 \right]_0^2 + \left[2x^2 \right]_0^2 - \left[x \right]_0^2 \ = \frac{1}{2}(2^4) - (2^3) + 2(2^2) - 2 \ = 8 - 8 + 8 - 2 \ = 6.$

步骤4：计算定积分：根据上述分析，计算出定积分的值为 6。

步骤5：检查结果：将结果带入原函数进行验证，确保结果的准确性。在这个例子中，我们可以计算原函数 $F(x) = \int (2x^3 - 3x^2 + 4x - 1)dx$ 并计算其在积分区间 [0, 2] 上的值是否为 6。

结论

通过以上分析和计算，我们得出了题目 $\int_0^2 (2x^3 - 3x^2 + 4x - 1)dx$ 的解答为 6。定积分是数学中的重要概念，掌握解题方法可以帮助我们解决各种数学问题。