第 12 类 RD Sharma 解 – 第 20 章定积分 – 练习 20.2 |设置 3

介绍

本篇主题介绍了 RD Sharma 第 12 类第 20 章的第 20.2 练习题，主要涉及定积分的应用，具体而言是通过两个解题示例来讲解如何求定积分。

解题思路

示例 1

题目： 计算定积分 $$\int_{-1}^{1} \frac{x^2 dx}{\sqrt{1-x^2}}$$

解题思路：

1. 做出几组 $x$ 和 $\sqrt{1-x^2}$ 的对应值，发现它们符合勾股定理。
2. 因为 $\sqrt{1-x^2}$ 是一个半径为 1 的单位圆的边缘值，所以 $x^2$ 可以用 $\sin ^ 2 \theta$ 代替。
3. 通过代换 $x = \sin \theta$，化式为 $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^2 \theta d\theta$。
4. 使用积分公式 $\int \sin^2 x dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x)$，计算出 $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^2 \theta d\theta = \frac{\pi}{2}$。

因此，$$\int_{-1}^{1} \frac{x^2 dx}{\sqrt{1-x^2}} = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^2 \theta d\theta = \frac{\pi}{2}$$

示例 2

题目： 计算定积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} (2+\cos x)\cos x dx$。

解题思路：

1. 使用积分恒等式 $\cos^2 x = \frac{1}{2}(1 + \cos 2x)$，化式为 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} (2\cos x + \cos x \cos 2x) dx$。
2. 使用积分公式 $\int \cos x dx = \sin x$ 和 $\int \cos x \cos 2x dx = \frac{\sin 3x}{6} + \frac{\sin x}{2}$，计算出 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} (2+\cos x)\cos x dx = \frac{5}{2}$。

因此，$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} (2+\cos x)\cos x dx = \frac{5}{2}$$

总结

本篇主题讲解了 RD Sharma 第 12 类第 20 章的第 20.2 练习题，通过两个解题示例展示了求定积分的方法，其中包括积分恒等式和积分公式的运用。通过学习这个知识点，程序员可以更深刻地理解数学中定积分的概念，实现更加准确的数学计算。