第 12 类 RD Sharma 解 – 第 20 章定积分 – 练习 20.1 |设置 3

RD Sharma解

RD Sharma是一位著名的印度数学家，他撰写了许多高中和初级数学教材，其中包括高中数学中的微积分部分。其中，第12类题解是该教材的一个部分，其中涉及的主题是高等微积分的一些主题和问题。

练习20.1是一个定积分相关的问题，涉及到计算定积分以及应用定积分的面积和几何意义。这道题的解题过程可能会涉及到许多步骤和技巧，因此需要仔细地研究和解决。

这里给出一个可能的解答，以供参考。

解答

我们需要计算定积分

$$\int_{0}^{2 \pi} \cos x \sin x d x$$

首先，我们可以使用三角恒等式$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$，将其变为

$$\int_{0}^{2 \pi} \frac{1}{2} \sin 2x d x$$

然后，我们可以使用定积分的性质将其拆分为两个定积分，即

$$\frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi} \sin 2x d x = \frac{1}{2} \left[ -\frac{\cos 2x}{2} \right]_{0}^{2 \pi} = \frac{1}{2} \left( \frac{\cos 0}{2} - \frac{\cos 4\pi}{2} \right) = \frac{1}{4}$$

因此，该定积分的值为$\frac{1}{4}$。

该定积分的几何意义是，在区间$(0,2\pi)$上，函数$\cos x \sin x$介于$x$轴和函数$\sin 2x$之间的曲边梯形的面积。其中，$x$轴在点$x = 0$和$x = 2\pi$处的函数值分别为0，因此该曲边梯形的高为$\frac{1}{2}$。

代码如下：

$$\int_{0}^{2 \pi} \cos x \sin x d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi} \sin 2x d x = \frac{1}{2} \left[ -\frac{\cos 2x}{2} \right]_{0}^{2 \pi} = \frac{1}{2} \left( \frac{\cos 0}{2} - \frac{\cos 4\pi}{2} \right) = \frac{1}{4}$$