排列组合问题

在计算机编程中，排列组合问题是常见的一类问题。排列指的是从一组元素中选取出一些元素排成一列，组合指的是从一组元素中选取出一些元素组成一个集合。

1. 排列问题

在排列问题中，元素的顺序是有意义的，即两个相同的元素在不同位置不会被视为相同的排列。

1.1 全排列

全排列是指从一组元素中选取出所有可能的排列。假设有 $n$ 个元素，全排列的数量为 $n!$。其中，$n!$ 表示 $n$ 的阶乘，即 $n!=n*(n-1)*...21$。

下面是Python的代码实现：

from itertools import permutations

elements = [1,2,3,4]
permutations_list = list(permutations(elements))

print(permutations_list)

输出：

[(1, 2, 3, 4),
 (1, 2, 4, 3),
 (1, 3, 2, 4),
 (1, 3, 4, 2),
 (1, 4, 2, 3),
 (1, 4, 3, 2),
 (2, 1, 3, 4),
 (2, 1, 4, 3),
 (2, 3, 1, 4),
 (2, 3, 4, 1),
 (2, 4, 1, 3),
 (2, 4, 3, 1),
 (3, 1, 2, 4),
 (3, 1, 4, 2),
 (3, 2, 1, 4),
 (3, 2, 4, 1),
 (3, 4, 1, 2),
 (3, 4, 2, 1),
 (4, 1, 2, 3),
 (4, 1, 3, 2),
 (4, 2, 1, 3),
 (4, 2, 3, 1),
 (4, 3, 1, 2),
 (4, 3, 2, 1)]

1.2 部分排列

部分排列是指从一组元素中选取出 $r$ 个元素排成一列。假设一组元素共有 $n$ 个，那么部分排列的数量为 $n*(n-1)...(n-r+1)$，记为 $A_{n}^{r}$。

下面是使用递归实现部分排列的Python代码：

def permutation(elements, selected_list, used_set, r):
    if len(selected_list) == r:
        print(selected_list)
        return
    for element in elements:
        if element in used_set:
            continue
        selected_list.append(element)
        used_set.add(element)
        permutation(elements, selected_list, used_set, r)
        used_set.remove(element)
        selected_list.pop()

elements = [1,2,3,4]
permutation(elements, [], set(), 3)

输出：

[1, 2, 3]
[1, 2, 4]
[1, 3, 2]
[1, 3, 4]
[1, 4, 2]
[1, 4, 3]
[2, 1, 3]
[2, 1, 4]
[2, 3, 1]
[2, 3, 4]
[2, 4, 1]
[2, 4, 3]
[3, 1, 2]
[3, 1, 4]
[3, 2, 1]
[3, 2, 4]
[3, 4, 1]
[3, 4, 2]
[4, 1, 2]
[4, 1, 3]
[4, 2, 1]
[4, 2, 3]
[4, 3, 1]
[4, 3, 2]

2. 组合问题

在组合问题中，元素的顺序是无意义的，即两个相同的元素在不同位置会被视为相同的组合。

2.1 全组合

全组合是指从一组元素中选取出所有可能的组合。假设一组元素共有 $n$ 个，要从中选出 $r$ 个，那么全组合的数量为 $C_{n}^{r}$，即从 $n$ 个元素中选出 $r$ 个元素的组合数。

下面是使用递归实现全组合的Python代码：

def combination(elements, selected_list, start, r):
    if len(selected_list) == r:
        print(selected_list)
        return
    for i in range(start, len(elements)):
        selected_list.append(elements[i])
        combination(elements, selected_list, i+1, r)
        selected_list.pop()

elements = [1,2,3,4]
combination(elements, [], 0, 3)

输出：

[1, 2, 3]
[1, 2, 4]
[1, 3, 4]
[2, 3, 4]

2.2 部分组合

部分组合是指从一组元素中选取出 $r$ 个元素组成一个集合。与排列不同，部分组合不考虑元素的顺序。与部分排列类似，一组元素共有 $n$ 个，从中选出 $r$ 个元素的组合数为 $C_{n}^{r}$。

下面是使用递归实现部分组合的Python代码：

def combination(elements, selected_list, start, r):
    if len(selected_list) == r:
        print(selected_list)
        return
    if start == len(elements):
        return
    selected_list.append(elements[start])
    combination(elements, selected_list, start+1, r)
    selected_list.pop()
    combination(elements, selected_list, start+1, r)

elements = [1,2,3,4]
combination(elements, [], 0, 3)

输出：

[1, 2, 3]
[1, 2, 4]
[1, 3, 4]
[2, 3, 4]

总结

排列组合问题在计算机编程中经常遇到，本文介绍了全排列、部分排列、全组合和部分组合的定义和实现方法。在实现以上算法时，我们可以采用递归方式，也可以使用Python提供的排列组合模块itertools，使用方法比较灵活。