QA – 安置测验|排列组合|问题 9

介绍

本题是一个排列组合问题中的经典例题。问题是：有10幅画需要在一面展板上挂，但如果其中两幅画A和B挂在一起，画展就会被搞砸。问共有多少种合法的挂画方案。

这个问题是经典的容斥原理例题，可以用排列组合的知识结合容斥原理来解决。由于涉及到排列和组合的计算，需要较强的数学基础。

解法

我们先计算共有多少种挂画方案。因为10幅画没有规定挂的位置，所以会有10!种挂画的方式。

但是，由于要求A和B不能挂在一起，我们需要排除这种情况。将A和B看做一种“合体”，我们可以将其分别与其他画进行组合，有9种不同的挂画情况。

对于每种情况，我们可以对其进行排列，用P(n, r)表示从n个元素中选取r个元素进行排列的方案数，有P(9, 8)种排列方式。所以，有9* P(9, 8)种方案包含了合体A和B挂在一起的情况。

但是，这些方案中，有些方案中可能存在多个合体A和B，我们需要将这些多重计算的方案进行削减。我们定义$S_i$表示有i个合体A和B挂在一起的方案数。则$S_i$可以用组合的方式计算得到，即$S_i=C^2_i\times P^7_{10-2i}$，表示从10-2i幅画中选两幅作为合体A和B，并对除了A和B之外的剩下7幅画进行排列的方案数。

根据容斥原理，最终的挂画方案数就是：

$$ N=10!-S_1+S_2-S_3+...+(-1)^9S_9 $$

代码片段

由于这个问题涉及到较多的计算，代码难度较大。以下是部分代码片段：

def com(x, y):
    # 计算组合数
    a = b = 1
    for i in range(y):
        a *= (x - i)
        b *= (y - i)
    return a // b
 
def solve(n):
    sgn, ans = 1, fac[n]
    for i in range(1, 10):
        for j in range(com(9, i) * fac[10 - i]):
            # 按照题目要求判断是否合法
            for k in range(i):
                if ((k + 1) % 2) == 0 and (j % (com(i, k + 1) * com(10 - i, i - k - 1))) < com(i - k - 1, 2):
                    sgn = -sgn
                    break
            ans += sgn * com(i, 2) * com(9, i - 2) * fac[10 - i]
    return ans

以上是依据python编写的部分代码。对于要求复杂的问题，可以考虑使用Python等脚本语言进行编写，方便调试和计算。同时，由于Python具有简单易学的特点，也适合入门程序员进行学习应用。