门 | 门CS 2010 | 问题 27

这是一道关于图论的算法题目，要求找出一张无向图中的所有割点。

什么是割点？

在一张无向图中，如果删除某个顶点及其所有相连的边，会使得图不连通，那么这个顶点就被称为割点。例如，下图中的顶点2就是一个割点。

0 --- 1
| \   |
|   \ |
2 --- 3

割点在实际应用中有着广泛的应用，比如在网络通信、社交网络等领域。因此，寻找割点也是图论中的一个重要问题。

求解过程

求解一个无向图中所有的割点，可以使用深度优先搜索算法（DFS）。具体步骤如下：

1. 对于无向图中的每一个顶点，以任意一个顶点为起点进行 DFS 遍历；

2. 在 DFS 遍历的过程中，对于当前遍历到的顶点 v，标记一个时间戳（比如增量），并记录下这个时间戳为 dfsNum[v]，同时将 dfsLow[v] 设为当前时间戳；

3. 对于 v 的每一个邻居 u：

   • 如果 u 没有被遍历过，则继续对 u 进行 DFS 遍历，并把 dfsLow[v] 设为 dfsLow[v] 和 dfsNum[u] 中的较小值；
   • 如果 u 已经被遍历过，则将 dfsLow[v] 设为 dfsLow[v] 和 dfsNum[u] 中的较小值。

4. 最后，对于 v 进行如下判断：

   • 如果 v 是根节点（即起点），且该节点有两个或以上的子节点，则 v 为割点；
   • 如果 v 不是根节点，则找到跟节点的 dfsLow 值，记作 dfsLow[root]，若存在子节点使得该子节点的 dfsLow 值大于 dfsNum[v]，则 v 为割点。

具体实现可以参考下面的代码片段。

def dfs(graph, u, dfsNum, dfsLow, parent, visited, isCutpoint):
    children = 0
    visited[u] = True
    dfsNum[u] = dfsLow[u] = dfsCounter[0]
    dfsCounter[0] += 1
    for v in graph[u]:
        if not visited[v]:
            parent[v] = u
            children += 1
            dfs(graph, v, dfsNum, dfsLow, parent, visited, isCutpoint)
            dfsLow[u] = min(dfsLow[u], dfsLow[v])
            if parent[u] is None and children > 1 or parent[u] is not None and any(dfsLow[v] >= dfsNum[u] for v in graph[u] if v != parent[u]):
                isCutpoint[u] = True
        elif v != parent[u]:
            dfsLow[u] = min(dfsLow[u], dfsNum[v])

总结

寻找割点是图论中的一个经典问题，可以采用深度优先搜索算法进行求解。此外，在实际开发中，也可以使用已有的图论库（如 NetworkX）来直接求解割点，避免重复造轮子。