RD Sharma解决方案–第1章实数–练习1.4

RD Sharma是印度著名的数学教育家之一，他编写了一系列优秀的数学教材和解决方案，用于印度的初中数学教育。其中，第10类RD Sharma解决方案是针对高中数学的。

本篇介绍的是第1章实数中的练习1.4，主要涉及无理数的性质和计算。

代码片段

1. without actually performing the long division, state whether the following rational numbers have terminating or non-terminating repeating decimals: (i) 1/7 (ii) 1/9 (iii) 23/40 (iv) 5/32 (v) 1/11 (vi) 4/99

2. State whether the decimal expansions given in the following examples are terminating or non-terminating repeating. Justify your answer in each case. (i) 35.6249999 (ii) 0.404040404 (iii) 3.124578100000…. (iv) 0.12012001200012….

3. Determine whether the following equation is correct or not. Justify your answer. 10.3742 – 2.46842 – 5.90578 = 1.647

4. Show that every positive odd prime number is of the form 6q + 1 or 6q + 5, where q is a positive integer.

5. Write down the factorization of the following integers as products of primes: (i) 6930 (ii) 3584

6. Without adding, show that (i) 1/3 + 1/7 > 1/4 + 1/6 (ii) 3/5 – 2/3 > 1/2 – 2/7

7. State whether the statement ‘every irrational number is a surd’ is true or false. Justify your answer.

解题思路

1. 通过观察分母，判断小数是有限小数还是无限循环小数，其中只有1/7和1/11是无限循环小数，其余都是有限小数或者无限不循环小数。

2. 通过观察小数的位数和循环节或者是否有无限位数的数字，判断小数是有限小数还是无限循环小数，其中例子(i)和(ii)是无限循环小数，例子(iii)和(iv)是无限不循环小数。

3. 按照竖式计算法，从个位数开始相减，将结果保留小数点后4位，然后比较与左边等式的结果是否相等。如果结果相等，那么等式正确，否则不正确。

4. 根据奇数能够表示为3q+1或3q+2的定理，将3q+2分解为3(q+1)−1，得到6q+1或6q+5。其中，6q一定是偶数，所以不能用来表示奇数。所以，所有的奇素数都可以表示为6q+1或6q+5。

5. 根据质因子分解的定理，将多个质数的乘积分解为这些质数的连乘积。对于例子(i)，可以先将其分解为6930=235711，再将这些质数按由小到大的顺序连乘即可。对于例子(ii)，3584=2^7*7，可以直接将其分解为这两个质数的连乘积。

6. 对于(i)，需要将所有数通分，然后比较大小即可。对于(ii)，需要将所有数通分，然后比较大小即可。

7. 欧拉引入了“surd”这个术语来代表非有理数，但是这个概念是比较模糊的。其中，无理数指的是不能表示为有理数的数，而surd则指的是可以表示为带根式的形式。所以，不是所有的无理数都是surd，反之亦然。因此，这个命题是错误的。

总结

RD Sharma的数学解决方案是印度数学教育的代表，其对数学的系统性和深入性作出了很大贡献。本篇介绍了第10类RD Sharma解决方案中第1章实数的练习1.4，通过多个例子和题目，讲解了实数中的无限小数、质因子分解、奇素数表示、不等式比较等重要内容，对数学教育有着重要意义。