Class 10 RD Sharma解决方案–第1章实数–练习1.1 |套装1

本篇是Class 10 RD Sharma解决方案的第1章实数练习1.1的解答，包含套装1的全部练习题解答。

收录的问题

以下是本套装包含的问题：

1. 证明：$\sqrt{2}$不是有理数。
2. 判断：$2+\sqrt{3}$是否有理数？并验证你的结论。
3. 如果$m\in\mathbb{Z}$，哪些是有理数：$\dfrac{m}{m-9}$、$\dfrac{1}{m-2}$、$\dfrac{m^2-3m+2}{m^3+2m^2-m-2}$、$\dfrac{m^2+m+1}{m^2+5m+6}$？
4. 如果$p,q\in\mathbb{Q}$满足$p^2-4\sqrt{3}q+3=0$，则证明：$q=\dfrac{p}{2}\pm\dfrac{\sqrt{3}p}{2}$。
5. 分别求下列问题的有理解：$\sqrt{7+\sqrt{48}}$和$\sqrt{12}+\sqrt{27}$。
6. 证明：立方根$\sqrt[3]{2}$是无理数。
7. 判断：如果$\sqrt{m}$、$\sqrt{n}$都是有理数，则$\sqrt{mn}$也是有理数。如果不是，给出一个反例。
8. 证明：$\sqrt{5}$不是有理数。
9. 如果$p,q\in\mathbb{Q}$满足$p^2-3\sqrt{2}q+1=0$，则证明：$q=\dfrac{p}{2}\pm\dfrac{\sqrt{2}p}{2}$。
10. 证明：$\sqrt{3}$不是有理数。

代码片段

以下是一些代码片段，供您参考：

### 问题1

证明：$\sqrt{2}$不是有理数。

解答：

如果$\sqrt{2}$是有理数，那么它可以写成$\dfrac{p}{q}$的形式，其中$p$和$q$都是整数，且它们没有共同的因子（因此$\dfrac{p}{q}$是最简分数）。

然而，我们有：

$$\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}$$

$$\implies 2=\dfrac{p^2}{q^2}$$

$$\implies p^2=2q^2$$

因此$p^2$是$2$的倍数，也就是说$p$本身是$2$的倍数。那么$p$可以写成$2m$的形式，其中$m$是一个整数。

将这个式子代入$p^2=2q^2$中，我们得到：

$$(2m)^2=2q^2$$

$$\implies 4m^2=2q^2$$

$$\implies 2m^2=q^2$$

这意味着$q^2$是$2$的倍数，也就是$q$本身也是$2$的倍数。

然而，这意味着$p$和$q$都有因子$2$，与它们没有共同的因子的要求相矛盾。因此$\sqrt{2}$不可能是有理数。$\square$

### 问题2

判断：$2+\sqrt{3}$是否有理数？并验证你的结论。

解答：

我们可以尝试将$2+\sqrt{3}$写成$\dfrac{p}{q}$的形式，其中$p$和$q$都是整数，且它们没有共同的因子（因此$\dfrac{p}{q}$是最简分数）。

我们有：

$$2+\sqrt{3}=\dfrac{p}{q}$$

$$\implies \sqrt{3}=\dfrac{p}{q}-2$$

$$\implies 3=\left(\dfrac{p}{q}-2\right)^2$$

$$\implies 3=\dfrac{p^2}{q^2}-4\dfrac{p}{q}+4$$

$$\implies p^2=3q^2-4pq+4q^2$$

$$\implies p^2=(3q^2-4pq+4q^2)$$

$$\implies p^2=(q\sqrt{3}-2p)^2$$

上述等式告诉我们，$p^2$必须等于一个形如$(q\sqrt{3}-2p)^2$的平方。我们来尝试验证这个平方是不是有理数。假设$(q\sqrt{3}-2p)^2$是有理数，我们则有：

$$\left(q\sqrt{3}-2p\right)^2\in\mathbb{Q}$$

$$\implies q^2\cdot 3-4pq\sqrt{3}+4p^2\in\mathbb{Q}$$

然而，无理数$\sqrt{3}$不能消去，因此显然这个式子不可能是有理数。因此，$2+\sqrt{3}$不是有理数。$\square$

### 问题3

如果$m\in\mathbb{Z}$，哪些是有理数：$\dfrac{m}{m-9}$、$\dfrac{1}{m-2}$、$\dfrac{m^2-3m+2}{m^3+2m^2-m-2}$、$\dfrac{m^2+m+1}{m^2+5m+6}$？

解答：

对于每个问题，我们只需将它们化简为最简分数的形式，并且判断它们的分母是否为$0$。

#### $\dfrac{m}{m-9}$

$$\dfrac{m}{m-9}=\dfrac{m}{m-9}\cdot\dfrac{1}{1}=\dfrac{m}{m-9}$$

这是一个最简分数，因为$m$和$m-9$没有共同的因子。然而，当$m=9$时，分母为$0$，因此在这个情况下，分数是无理数。

#### $\dfrac{1}{m-2}$

$$\dfrac{1}{m-2}=\dfrac{1}{m-2}\cdot\dfrac{1}{1}=\dfrac{1}{m-2}$$

这是一个最简分数，因为$m-2$不能被约分。然而，当$m=2$时，分母为$0$，因此这个分数对应着无理数。

#### $\dfrac{m^2-3m+2}{m^3+2m^2-m-2}$

我们可以尝试因式分解，以便将这个分数化为最简分数：

$$\dfrac{m^2-3m+2}{m^3+2m^2-m-2}=\dfrac{(m-1)(m-2)}{(m-1)(m+2)(m-1)}=\dfrac{m-2}{m^2+m-2}$$

由于整式$m^2+m-2$不能被约分，上述式子是一个最简分数。然而，当$m=1$或$m=-2$时，分母为$0$，因此这些值对应于无理数。

#### $\dfrac{m^2+m+1}{m^2+5m+6}$

我们可以使用因式分离或者带余数长除法，以便将这个分数化为最简分数：

$$\begin{aligned}\dfrac{m^2+m+1}{m^2+5m+6}&=\dfrac{(m^2+3m+2)(m-1)}{(m+2)(m+3)(m+2)}\\&=\dfrac{(m+1)(m-1)}{(m+2)(m+3)}\end{aligned}$$

这是一个最简分数，因为$m+2$和$m+3$不能被约分。分母可能为$0$的情况是$m=-2$或$m=-3$。在这些情况下，分数对应于无理数。$\square$

希望这份介绍能对程序员们的工作有所帮助。