第 12 类 RD Sharma 解决方案 - 第 6 章行列式练习前。 6.6 |设置 3(1)

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📜 第 12 类 RD Sharma 解决方案 - 第 6 章行列式练习前。 6.6 |设置 3(1)

📅 最后修改于: 2023-12-03 14:56:39.240000 🧑 作者: Mango

第 12 类 RD Sharma 解决方案 - 第 6 章行列式练习前. 6.6 |设置 3

简介

RD Sharma解决方案是解决印度 RD Sharma数学书本练习问题的参考答案。该解决方案包含有详细的解题方法和答案，能够帮助数学学习者更好地理解课本内容，提高解题能力。

本次介绍的是RD Sharma解决方案中第6章行列式练习前的第6.6题，题目为“对于Det(A)=0，证明矩阵A可以表示为BC。其中,D是矩阵A的伴随矩阵，B是n阶矩阵，C是m阶矩阵，n+m-1=m。"。

详细步骤

以下是解决该题目的详细步骤：

因为Det(A)=0，所以矩阵A不可逆，即A矩阵的列向量是线性相关的。因此，可以找到一个A列向量的非零线性组合（记作ai）可以表示成剩余列的线性组合。
再将ai表示成非ai列向量的线性组合，如下：

$a_i = \alpha _1 a_1 + \alpha _2a_2 + \dots + \alpha _i-1 a_i-1 + \alpha _{i+1}a_{i+1} + \ldots + \alpha_m a_m$

其中，α1，α2，...，αi-1，αi+1，...，αm 不全为零。
将上述式子代入A的行列式中，得到：

$\begin{aligned} \mathrm{Det}(A) = a_{11} \mathrm{Det}(A_{11}) + a_{12} \mathrm{Det}(A_{12}) + \cdots + a_{1i-1} \mathrm{Det}(A_{1i-1}) + a_{1i} \mathrm{Det}(A_{1i}) + \cdots + a_{1m} \mathrm{Det}(A_{1m}) \ = a_{1i} \mathrm{Det}(A_{1i}) + \cdots + a_{1m} \mathrm{Det}(A_{1m}) \end{aligned}$

这是因为只有A矩阵的第1行中的ai含有非零线性组合而造成这个行列式的非零值。
我们知道，A的伴随矩阵D的元素可以表示成A的代数余子式，即：

$d_{ij}=(-1)^{i+j}\mathrm{Det}M_{ij}$

其中，Mij是A矩阵在第i行第j列删去的矩阵。
另外，Aij可以表示成B和C矩阵的乘积，即Aij=Bj×C，其中Bj是A的第j列，C是A除去第i行的子矩阵的伴随矩阵。
代入式子，有：

$\mathrm{Det}(A)=a_{1i}(-1)^{1+i}\mathrm{Det}M_{1i} = a_{1i}(-1)^{1+i}\mathrm{Det}(C\cdot B^\prime_{i})$

其中，B'i是B矩阵除去第i行的子矩阵，C和B'i是n+m-1的矩阵。根据 Schroder-Bernstein 定理，可以找到一个b和c之间的双射，使得 b:C → B'i。定义A的第i列是b(c)。
定义矩阵B为n×(n+m-1)矩阵，其中B的前i-1列是A的前i-1列，第i列是b(c)，其余列是设为零的列。
定义矩阵C为(n+m-1)×m矩阵，其中C的第1行为方程组a1 = α1a1 + α2a2 + ··· + αi-1ai-1 + αi b(c) + αi+1ami+1 + ··· + αmam 的系数，第2行为方程组a2 = α1a1 + α2a2 + ··· + αi-1ai-1 + αi b(c) + αi+1ami+1 + ··· + αmam 的系数，依此类推，C的第m行为方程组am = α1a1 + α2a2 + ··· + αi-1ai-1 + αi b(c) + αi+1ami+1 + ··· + αm-1am-1 的系数，其余行是设为0的行。

代码片段

1. 因为Det(A)=0，所以矩阵A不可逆，即A矩阵的列向量是线性相关的。因此，可以找到一个A列向量的非零线性组合（记作ai）可以表示成剩余列的线性组合。
2. 再将ai表示成非ai列向量的线性组合，如下：

   ![](https://latex.codecogs.com/svg.image?a_i&space;=&space;\alpha&space;_1&space;a_1&space;&plus;&space;\alpha&space;_2a_2&space;&plus;&space;\dots&space;&plus;&space;\alpha&space;_i-1&space;a_i-1&space;&plus;&space;\alpha&space;_{i&plus;1}a_{i&plus;1}&space;&plus;&space;\ldots&space;&plus;&space;\alpha_m&space;a_m)

   其中，α1，α2，...，αi-1，αi+1，...，αm 不全为零。
   
3. 将上述式子代入A的行列式中，得到：

   ![](https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{aligned}&space;\mathrm{Det}(A)&space;=&space;a_{11}&space;\mathrm{Det}(A_{11})&space;&plus;&space;a_{12}&space;\mathrm{Det}(A_{12})&space;&plus;&space;\cdots&space;&plus;&space;a_{1i-1}&space;\mathrm{Det}(A_{1i-1})&space;&plus;&space;a_{1i}&space;\mathrm{Det}(A_{1i})&space;&plus;&space;\cdots&space;&plus;&space;a_{1m}&space;\mathrm{Det}(A_{1m})&space;\\&space;=&space;a_{1i}&space;\mathrm{Det}(A_{1i})&space;&plus;&space;\cdots&space;&plus;&space;a_{1m}&space;\mathrm{Det}(A_{1m})&space;\end{aligned})

   这是因为只有A矩阵的第1行中的ai含有非零线性组合而造成这个行列式的非零值。
   
4. 我们知道，A的伴随矩阵D的元素可以表示成A的代数余子式，即：

   ![](https://latex.codecogs.com/svg.image?d_{ij}=(-1)^{i&plus;j}\mathrm{Det}M_{ij})

   其中，Mij是A矩阵在第i行第j列删去的矩阵。
   
5. 另外，Aij可以表示成B和C矩阵的乘积，即Aij=Bj×C，其中Bj是A的第j列，C是A除去第i行的子矩阵的伴随矩阵。

6. 代入式子，有：

   ![](https://latex.codecogs.com/svg.image?\mathrm{Det}(A)=a_{1i}(-1)^{1&plus;i}\mathrm{Det}M_{1i}&space;=&space;a_{1i}(-1)^{1&plus;i}\mathrm{Det}(C\cdot&space;B^\prime_{i}))

   其中，B'i是B矩阵除去第i行的子矩阵，C和B'i是n+m-1的矩阵。根据 Schroder-Bernstein 定理，可以找到一个b和c之间的双射，使得 b:C → B'i。定义A的第i列是b(c)。

7. 定义矩阵B为n×(n+m-1)矩阵，其中B的前i-1列是A的前i-1列，第i列是b(c)，其余列是设为零的列。
8. 定义矩阵C为(n+m-1)×m矩阵，其中C的第1行为方程组a1 = α1a1 + α2a2 + ··· + αi-1ai-1 + αi b(c) + αi+1ami+1 + ··· + αmam 的系数，第2行为方程组a2 = α1a1 + α2a2 + ··· + αi-1ai-1 + αi b(c) + αi+1ami+1 + ··· + αmam 的系数，依此类推，C的第m行为方程组am = α1a1 + α2a2 + ··· + αi-1ai-1 + αi b(c) + αi+1ami+1 + ··· + αm-1am-1 的系数，其余行是设为0的行。