QA - 安置测验|排列组合|问题 3

本题涉及排列组合知识，请确保已掌握相关概念。

题目描述

有 $n$ 个人参加考试，其中 $m$ 个人已经确定了排名，剩下的人没有排名。现在要把剩下的人安置入前 $k$ 名，要求前 $k$ 名中至少有 $p$ 个人在已经确定了排名的 $m$ 个人中。求所有可能的安置方案数。

解题思路

对于本题，首先需要考虑确定排名的 $m$ 个人中至少有 $p$ 个人进入前 $k$ 名，可以分为以下两种情况：

1. $p > k$，此时已经确定排名的 $m$ 个人全部进入前 $k$ 名。这种情况下需要在剩下的 $n - m$ 个人中选择 $k - m$ 个人进入前 $k$ 名，即：

   $$ C_{n-m}^{k-m} $$

2. $p \leq k$，此时当已经确定排名的 $m$ 个人已经有 $p$ 个人进入前 $k$ 名时，需要在剩下的 $n - m$ 个人中再选择 $k - p$ 个人进入前 $k-p$ 名，剩下的 $p - m$ 个人从已经确定排名的 $m$ 个人中选择剩下的进入前 $k$ 名。即：

   $$ C_m^p \cdot C_{n-m}^{k-p} $$

那么最终的答案即为两种情况的方案数之和，即：

$$ \sum_{i=p}^k C_m^i \cdot C_{n-m}^{k-i} $$

其中，$C_n^m$ 表示组合数，即 $n$ 中选出 $m$ 个的方案数，计算公式为：

$$ C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!} $$

参考代码

以下为 Python 3 代码实现：

import math

def placement_quiz(n: int, m: int, k: int, p: int) -> int:
    res = 0
    for i in range(p, k + 1):
        res += math.comb(m, i) * math.comb(n - m, k - i)
    return res if p <= k else math.comb(n - m, k - m)

以上代码中使用了 math.comb() 函数来计算组合数。