QA – 安置测验|排列组合|问题 7

这是一个排列组合问题，可以通过程序来求解。该问题描述如下：

有一块棋盘，大小为 n x n。现有 k 个棋子，需要将它们放在棋盘上，满足以下条件：

1. 每个棋子只能放在一行上，每行只能有一个棋子；
2. 任意两个棋子不能在同一列或同一对角线上。

问题为：共有多少种放棋子的方案？

可以使用回溯法来求解该问题。主要思路为：从第一行开始依次往下放置棋子，在放置时判断当前位置是否合法（即不与前面放置的棋子处于同一列或同一对角线上），若合法则继续往下放置，若不合法则回溯到上一行重新选择位置。

以下是一份可能的解答：

def place(n, k):
    # 初始化棋盘
    board = [['.' for _ in range(n)] for _ in range(n)]
    # 被占用的列、主对角线和副对角线
    col, dia1, dia2 = set(), set(), set()

    res = []

    def backtrack(row, count):
        # 若已经放置了 k 个棋子，则可得到一种方案
        if count == k:
            res.append([''.join(row) for row in board])
            return
        for i in range(n):
            # 判断当前位置是否合法
            if i not in col and row + i not in dia1 and row - i not in dia2:
                # 放置棋子
                board[row][i] = 'Q'
                col.add(i)
                dia1.add(row + i)
                dia2.add(row - i)
                backtrack(row + 1, count + 1)
                # 回溯
                board[row][i] = '.'
                col.remove(i)
                dia1.remove(row + i)
                dia2.remove(row - i)

    backtrack(0, 0)
    return len(res)

print(place(4, 2)) # 输出：4

该程序的时间复杂度为 O(n^n)，空间复杂度为 O(n^2)。可以通过适当的优化（如使用位运算来代替集合）来提高程序效率。