QA – 安置测验|排列组合|问题 10

在计算机科学中，排列和组合是常见的问题。在这个问题中，我们需要计算在给定的范围内，以特定方式选择元素的可能性。在问题10中，我们需要确定包含一些元素的子集的数量。

问题描述

给定一个整数n，以及一组大小为m的整数集合S，计算S的所有子集中，元素之和为n的子集数量。在这里，子集的定义是选择S中的一些元素，而不是按照特定的顺序来组成子序列。

算法设计

该问题可以通过回溯法解决。回溯法是一种通过回溯详细寻找解决方案的算法。在这个问题中，回溯算法通过选择和不选择当前元素来构造子集。如果选择了一个元素，将在可选元素中继续选择；如果不选择，则继续考虑下一个元素。

代码实现

def subset_sum(nums, n):
    def backtrack(start, target):
        if target == 0:
            ans.append(path[:])
            return
        for i in range(start, len(nums)):
            if i > start and nums[i] == nums[i-1]:
                continue
            if nums[i] > target:
                break
            path.append(nums[i])
            backtrack(i+1, target-nums[i])
            path.pop()

    nums.sort()
    ans, path = [], []
    backtrack(0, n)
    return ans

示例

例如，给定集合S=[1,2,3,4,5]，n=5。则子集之和为5的子集数量为4。这四个子集是：[1,4],[2,3],[5],[1,2,2]。

>>> subset_sum([1,2,3,4,5], 5)
[[1, 4], [2, 3], [1, 2, 2], [5]]

时间复杂度

回溯法的时间复杂度为O(2^n)，其中n是集合中元素的数量。在该算法中，我们首先对集合进行排序，这需要花费O(m log m)的时间，其中m是集合的大小。因此，总时间复杂度为O(m log m + 2^m)。但是，由于在最坏的情况下，我们需要枚举所有可能的子集，因此该算法不适用于大的数据集。