QA – 安置测验|排列组合|问题 11

题目描述

有5个苹果和5个桔子，需要将这些水果放到3个篮子里，要求每个篮子至少有一个苹果和一个桔子，问有多少种不同的方案。

解题思路

本题是求不同的放苹果和桔子的方案数，可以采用排列组合的方法求解。根据问题描述，可以将问题分解为两个子问题：

1. 选择3个篮子中的2个篮子，每个篮子放置1个苹果和1个桔子。
2. 剩余的3个苹果和3个桔子放置在剩下的1个篮子中。

对于第一个子问题，可以先从5个苹果中选择1个苹果、从5个桔子中选择1个桔子，分别放置在选定的2个篮子内，方案数为：$C_5^1 \times C_5^1 = 25$。

然后，考虑将剩余的3个苹果和3个桔子放置在剩下的1个篮子内的方案数。由于篮子已经选定，现在只需要考虑放置苹果和桔子的顺序。可以发现，无论是将3个苹果先放进篮子再放置3个桔子，还是将3个桔子先放进篮子再放置3个苹果，都是同一种方案。所以，方案数为：$C_6^3 / 2 = 10$。

最终答案为两个子问题的方案数的乘积：$25 \times 10 = 250$。

代码实现

import math

# 计算组合数
def C(n, m):
    return math.factorial(n) // (math.factorial(m) * math.factorial(n - m))

# 第一个子问题的方案数
num1 = C(5, 1) * C(5, 1)

# 第二个子问题的方案数
num2 = C(6, 3) // 2

# 总方案数
result = num1 * num2

print("总方案数：", result)

以上为Python代码示例，通过math.factorial函数求解组合数，将两个子问题的方案数相乘即可得到最终结果。