QA – 安置测验|排列组合|问题 12

介绍

这是一个关于排列组合的问题，在给定的矩阵中，找出一条符合要求的路径（每个数只能使用一次）。

问题描述

给定一个矩阵 M，大小为 m x n，其中的每个元素均为正整数。定义一个路径为从左上角出发到右下角，每次可以向正右、正下、正左或正上走一步，顺序可以任意。路径上的每个元素只能使用一次。请计算所有符合要求的路径的点权之和。

示例

Input: M = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]
Output: 76
Explanation: 从左上角到右下角有两条符合要求的路径：
1 -> 2 -> 5 -> 9
1 -> 4 -> 5 -> 9
因此，答案为 1 + 2 + 5 + 9 + 1 + 4 + 5 + 9 = 76。

解题思路

这道题可以通过回溯法进行求解。

具体的，我们从左上角开始，遍历每一个点，如果该点在路径中没有使用过，那么我们考虑将其加入路径，并继续遍历下一个点。当遍历到右下角的时候，我们保存路径的点权之和，并回溯到上一个点。在回溯的过程中，我们需要将之前保存的状态还原，以便进行下一次遍历。

代码实现

class Solution:
    def __init__(self):
        self.m = 0
        self.n = 0
        self.grid = []
        self.visited = []
        self.res = 0
        
    def getNumberOfPath(self, M: List[List[int]]) -> int:
        self.m, self.n = len(M), len(M[0])
        self.grid = M
        self.visited = [[False] * self.n for _ in range(self.m)]
        for i in range(self.m):
            for j in range(self.n):
                self.dfs(i, j, 0)
        return self.res
        
    def dfs(self, i: int, j: int, path_sum: int) -> None:
        if i < 0 or i >= self.m or j < 0 or j >= self.n or self.visited[i][j]:
            return
        path_sum += self.grid[i][j]
        if i == self.m - 1 and j == self.n - 1:
            self.res += path_sum
            return
        self.visited[i][j] = True
        self.dfs(i + 1, j, path_sum)
        self.dfs(i - 1, j, path_sum)
        self.dfs(i, j + 1, path_sum)
        self.dfs(i, j - 1, path_sum)
        self.visited[i][j] = False
        return

总结

这道题考查了排列组合的基础知识，以及回溯算法的运用。需要注意需要将每个点的状态保存下来，以便回溯到之前的状态。