第 12 类 RD Sharma 解决方案 - 第 31 章概率 - 练习 31.3 |设置 1

介绍

RD Sharma 是一个广泛使用的高中数学教材，它涵盖了各种数学主题，包括代数，几何，三角函数和概率等。第 12 类 RD Sharma 解决方案提供了对这个教材章节的详细解释，以帮助学生更好地理解数学概念和解决问题。

其中第 31 章讲解了概率，其中练习 31.3 是一组练习，涵盖了条件概率和贝叶斯定理等主题。本篇文章介绍了这个练习的设置 1。

练习 31.3 | 设置 1

问题 1

一个袋子中有 12 枚相异的硬币，其中 3 枚是正面朝上的。一枚硬币被选中并被抛掷。找出以下的概率：

a) 此硬币是正面朝下的。

b) 此硬币是正面朝上的。

解决方案

a) 此硬币是正面朝下的概率是 (12 - 3)/12 = 9/12 = 3/4。

b) 此硬币是正面朝上的概率是 3/12 = 1/4。

问题 2

在问题 1 中，假设硬币被抛掷并且未知结果。现在，如果硬币是正面朝上的，找出它是正面朝上的概率。

解决方案

让 A 为选中的硬币是正面朝上的事件，B 为硬币是正面朝上的事件。

则 P(A) = 3/12 = 1/4 和 P(B|A) = 1。

贝叶斯定理告诉我们，概率 P(A|B) 可以由以下公式计算：

P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)

现在我们需要找出 P(B)，即硬币是正面朝上的概率。这可以通过以下两种方式计算：

1. 由问题 1 可知，P(B) = 1/4 * 3 + 3/4 * 1/2 = 9/16。

2. 由全概率公式可知，P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|A') * P(A')，其中 A' 为选中的硬币不是正面朝上的事件。因为除了 A，还有 9 个硬币是正面朝上的，所以 P(A') = 9/12 = 3/4。根据问题 1，P(B|A) = 1，而 P(B|A') = 1/2。因此，P(B) = 1 * 1/4 + 1/2 * 3/4 = 9/16。

现在我们可以使用贝叶斯定理，将 P(A)、P(B|A) 和 P(B) 的值代入公式中：

P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B) = 1 * 1/4 / (9/16) = 4/9。

因此，硬币是正面朝上的情况下选中的硬币是正面朝上的概率为 4/9。