介绍第 12 类 RD Sharma 解决方案 - 第 31 章概率 - 练习 31.7 |设置 3

概述

RD Sharma 解决方案是一种基于印度RD Sharma的数学课本所设计的解题方式。本产品则是基于RD Sharma数学课本第12类中第31章概率的第7个练习所编写的解决方案，旨在帮助学生更好地理解和掌握这一章节。

功能

本解决方案旨在帮助用户解决RD Sharma数学课本第12类中第31章概率的第7个练习。通过本解决方案，用户可以更加深入地了解概率的基本概念、方法和应用，掌握概率计算的技巧和方法，提高数学解题能力。

使用

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代码片段（Markdown格式）

#### **练习 31.7 | 设置 3**

**题目描述：** 设 $A$，$B$ 为两个事件，满足 $P(\bar{A} \; \cap \; \bar{B}) = P(\bar{A}) \; P(\bar{B})$，且 $P(A \; \cap \; B) = 1/8$，求 $P(A)$。

**解题思路：** 

根据题目给出的信息，可以列出如下的方程组： 

$\begin{cases}  
P(\bar{A} \; \cap \; \bar{B}) = P(\bar{A}) \; P(\bar{B}) \\  
P(A \; \cap \; B) = 1/8 \\  
P(A \; \cup \; B) = P(A) + P(B) - P(A \; \cap \; B) 
\end{cases}$

首先，由于 $A$ 和 $B$ 是两个事件，因此 $P(A \; \cup \; B) = P(A) + P(B) - P(A \; \cap \; B)$，即 $1 - P(\bar{A} \; \cap \; \bar{B}) = P(A) + P(B) - 1/8$  

又因为 $P(\bar{A} \; \cap \; \bar{B}) = P(\bar{A}) \; P(\bar{B})$，代入上式可得 

$1 - P(\bar{A}) \; P(\bar{B}) = P(A) + P(B) - 1/8$ 

再次代入 $P(A \; \cap \; B) = 1/8$，整理可得 

$\begin{aligned}  
1 - (1 - P(A))(1 - P(B)) &= P(A) + P(B) - 1/8 \\  
1 - 1 + P(A) + P(B) - P(A)P(B) &= P(A) + P(B) - 1/8  
\end{aligned}$

化简可得 

$P(A)P(B) - P(A) - P(B) + 1/8 = 0$ 

进一步化简可得 

$\begin{aligned}  
(P(A) - 1/2)(P(B) - 1/2) &= 1/8 + 1/16 \\  
(P(A) - 1/2)(P(B) - 1/2) &= 3/32 \\  
\end{aligned}$

因为 $0\leq P(A),P(B)\leq 1$，因此 $P(A) - 1/2 \geq -1/2$，$P(B) - 1/2 \geq -1/2$，故 $P(A) - 1/2$ 和 $P(B) - 1/2$ 的符号相同。

若 $P(A) - 1/2$ 和 $P(B) - 1/2$ 均为正数，则 $P(A) - 1/2 \geq \sqrt{3/32}$，$P(B) - 1/2 \geq \sqrt{3/32}$，故 $P(A)\cdot P(B) > 1/2$，与 $P(A \; \cap \; B) = 1/8$ 相矛盾。

若 $P(A) - 1/2$ 和 $P(B) - 1/2$ 均为负数，则 $P(A) - 1/2 \leq -\sqrt{3/32}$，$P(B) - 1/2 \leq -\sqrt{3/32}$，故 $P(A) \cdot P(B) < 0$，与概率的定义不符。

因此，$P(A) - 1/2$ 和 $P(B) - 1/2$ 的符号必须相反。且由于 $P(A \; \cap \; B) = 1/8$，$P(A) + P(B) - 1/8 \leq 1$，所以 $P(A) + P(B) \leq 9/8$，由于 $0 \leq P(A),P(B) \leq 1$，因此 $P(A) \leq 9/8$。

因此，最终得到 $P(A) = \boxed{\dfrac{3}{4}}$。

**代码片段：**

```markdown
#### **练习 31.7 | 设置 3**

**题目描述：** 设 $A$，$B$ 为两个事件，满足 $P(\bar{A} \; \cap \; \bar{B}) = P(\bar{A}) \; P(\bar{B})$，且 $P(A \; \cap \; B) = 1/8$，求 $P(A)$。

**解题思路：** 

根据题目给出的信息，可以列出如下的方程组： 

$\begin{cases}  
P(\bar{A} \; \cap \; \bar{B}) = P(\bar{A}) \; P(\bar{B}) \\  
P(A \; \cap \; B) = 1/8 \\  
P(A \; \cup \; B) = P(A) + P(B) - P(A \; \cap \; B) 
\end{cases}$

首先，由于 $A$ 和 $B$ 是两个事件，因此 $P(A \; \cup \; B) = P(A) + P(B) - P(A \; \cap \; B)$，即 $1 - P(\bar{A} \; \cap \; \bar{B}) = P(A) + P(B) - 1/8$  

又因为 $P(\bar{A} \; \cap \; \bar{B}) = P(\bar{A}) \; P(\bar{B})$，代入上式可得 

$1 - P(\bar{A}) \; P(\bar{B}) = P(A) + P(B) - 1/8$ 

再次代入 $P(A \; \cap \; B) = 1/8$，整理可得 

$\begin{aligned}  
1 - (1 - P(A))(1 - P(B)) &= P(A) + P(B) - 1/8 \\  
1 - 1 + P(A) + P(B) - P(A)P(B) &= P(A) + P(B) - 1/8  
\end{aligned}$

化简可得 

$P(A)P(B) - P(A) - P(B) + 1/8 = 0$ 

进一步化简可得 

$\begin{aligned}  
(P(A) - 1/2)(P(B) - 1/2) &= 1/8 + 1/16 \\  
(P(A) - 1/2)(P(B) - 1/2) &= 3/32 \\  
\end{aligned}$

因为 $0\leq P(A),P(B)\leq 1$，因此 $P(A) - 1/2 \geq -1/2$，$P(B) - 1/2 \geq -1/2$，故 $P(A) - 1/2$ 和 $P(B) - 1/2$ 的符号相同。

若 $P(A) - 1/2$ 和 $P(B) - 1/2$ 均为正数，则 $P(A) - 1/2 \geq \sqrt{3/32}$，$P(B) - 1/2 \geq \sqrt{3/32}$，故 $P(A)\cdot P(B) > 1/2$，与 $P(A \; \cap \; B) = 1/8$ 相矛盾。

若 $P(A) - 1/2$ 和 $P(B) - 1/2$ 均为负数，则 $P(A) - 1/2 \leq -\sqrt{3/32}$，$P(B) - 1/2 \leq -\sqrt{3/32}$，故 $P(A) \cdot P(B) < 0$，与概率的定义不符。

因此，$P(A) - 1/2$ 和 $P(B) - 1/2$ 的符号必须相反。且由于 $P(A \; \cap \; B) = 1/8$，$P(A) + P(B) - 1/8 \leq 1$，所以 $P(A) + P(B) \leq 9/8$，由于 $0 \leq P(A),P(B) \leq 1$，因此 $P(A) \leq 9/8$。

因此，最终得到 $P(A) = \boxed{\dfrac{3}{4}}$。