第11类RD Sharma解决方案–第31章导数–练习31.5

介绍

RD Sharma解决方案是针对RD Sharma的高中数学教科书开发的解决方案。这些解决方案提供了数学问题的详细解释和解决方法，特别是在代数和几何学中。本文将介绍RD Sharma解决方案的第11类，即高中数学第一卷，第31章导数，练习31.5的解决方法。

练习31.5题目

设函数f(x)满足$f(0)=0$和$f'(x)\geq-1$，求证$$f(x)\geq\frac{-x^{2}}{2}$$

解决方法

我们要证明的是$f(x)\geq\frac{-x^{2}}{2}$。为此，我们需要建立一个辅助函数g(x)，符合以下条件：

1. $g(0)=0$
2. $g'(x)=f(x)+\frac{x^{2}}{2}$

首先，我们可以得出如下公式：$$f'(x)\geq-1$$

我们将其积分得到如下不等式：$$f(x)\geq-\infty$$

这是一个非常强的限制，但它不足以证明我们需要的结论。因此，我们需要使用辅助函数g(x)来证明结论。

利用$g'(x)=f(x)+\frac{x^{2}}{2}$，我们可以得到以下不等式：$$g'(x)\geq\frac{-x^{2}}{2}$$

将该不等式积分得到以下结果：$$g(x)\geq\frac{-x^{3}}{6}$$

由于$g(0)=0$，因此$$g(x)-\frac{-x^{3}}{6}\geq0$$

我们把$g(x)-\frac{-x^{3}}{6}$作为一个新的函数h(x)，并将其导数求出：$$h'(x)=g'(x)+\frac{-x^{2}}{2}=f(x)+\frac{x^{2}}{2}+\frac{-x^{2}}{2}=f(x)$$

因此，我们得到$$h'(x)=f(x)$$

由$h(x)-\frac{-x^{3}}{6}\geq0$，我们得到$$h(x)\geq\frac{-x^{3}}{6}$$

这就意味着$$f(x)\geq\frac{-x^{2}}{2}$$

我们已经成功地证明了原始的不等式。

结论

在本文中，我们介绍了RD Sharma解决方案的第11类，即高中数学第一卷，第31章导数，练习31.5的解决方法。通过建立一个辅助函数g(x)，我们证明了原始的不等式$f(x)\geq\frac{-x^{2}}{2}$。这个解决方法演示了如何使用导数和辅助函数来解决复杂的数学问题。