QA – 安置测验|管道和蓄水池 |问题 5

问题描述

你需要在一座山上修建一个水库，以便为城市供水。你预算有限，因此必须尽可能节约成本。你已经测量了山谷的宽度和高度，并为管道选择了一个理想的路径，但你不确定水库应该建在哪里。你需要写一个程序来帮助你确定最佳的水库位置，以最小化建造成本。

你有四种水库位置可以选择，这四个水库区域的形状和大小都是相同的。每个位置的水库尺寸不一样，并且成本也不同。对应的成本和水库容量如下:

• a - 成本: 150万美元，容量: 9百万加仑
• b - 成本: 200万美元，容量: 10百万加仑
• c - 成本: 300万美元，容量: 12百万加仑
• d - 成本: 400万美元，容量: 15百万加仑

对于特定的水库位置，你需要计算出它的最大容量，容量由水库位置和两个管道之间的树高度限制决定，并且你也需要计算出建造该水库的成本。

你需要找到最佳的水库位置，以最小化总建造成本。注意，你不需要考虑管道的成本。

代码实现

以下是针对上述问题的解决方案的代码实现。下面的代码段将给出算法的详细说明，并使用Python代码示例。

# 导入math库，用于计算树高度
import math

# 每个水库的尺寸和成本
reservoirs = {
    'a': {'size': 9 * 10 ** 6, 'cost': 150},
    'b': {'size': 10 * 10 ** 6, 'cost': 200},
    'c': {'size': 12 * 10 ** 6, 'cost': 300},
    'd': {'size': 15 * 10 ** 6, 'cost': 400}
}

# 管道长度和高度限制
pipe_length = 20000  # 单位: 英尺
pipe_height_limit = 1000  # 单位: 英尺

# 山谷宽度和高度
valley_width = 8000  # 单位: 英尺
valley_height = 1000  # 单位: 英尺

def find_best_reservoir_position():
    """
    寻找最佳水库位置的函数
    """
    # 初始化变量
    best_reservoir = None
    best_capacity = 0
    best_cost = float('inf')

    for r in reservoirs:
        geo_height = (valley_width / 2) * (valley_height / 2) / (valley_width / 2 + math.tan(math.asin(pipe_length / (2 * pipe_height_limit))) * pipe_length / 2)
        reservoir_capacity = min(geo_height * valley_width * r['size'], r['size'])
        reservoir_cost = r['cost']

        if reservoir_capacity > best_capacity:
            best_capacity = reservoir_capacity
            best_cost = reservoir_cost
            best_reservoir = r
        elif reservoir_capacity == best_capacity and reservoir_cost < best_cost:
            best_cost = reservoir_cost
            best_reservoir = r

    # 返回最佳位置和成本
    return best_reservoir, best_cost

# 测试函数
assert find_best_reservoir_position() == ('c', 300)

解决方案说明

这个问题可以通过计算每个水库位置的最大容量和成本，然后选择最小成本的水库位置来解决。

计算每个水库位置的最大容量需要考虑树高度的限制。具体地，我们需要计算两个管道之间的地形高度，然后将其作为树高度。这可以使用三角函数来计算，如下所示:

$$ geo_height = \frac{w}{2} \cdot \frac{h}{2} \div (\frac{w}{2} + \tan^{-1}(\frac{l}{2h}) \cdot \frac{l}{2}) $$

其中，$w$是山谷的宽度，$h$是山谷的高度，$l$是管道的长度。

在计算完每个水库位置的最大容量之后，我们只需要选择具有最小成本的水库位置即可。如果两个位置具有相同容量，则选择成本更低的位置。

结论

在此介绍了一个解决山谷中最佳水库位置问题的解决方案。我们的算法通过计算每个水库位置的最大容量和成本来找到最佳的水库位置，以最小化总建造成本。在实际应用中，可能需要考虑更多的因素，并对算法进行改进。