RD Sharma 解决方案 - 第 31 章概率 - 练习 31.7 |设置 2

本篇RD Sharma解决方案将会介绍第31章概率中的练习31.7，设置2的解决方法。

题目描述

在一个包含有10个零和10个一的装置中，每次随机从中任取一个，每个被取到的零或一都被记录，并被放回。设 $X$ 是前25个选出的 $0$ 的个数，$Y$ 是前100个选出的 $0$ 的个数。问：$P(X = 10, Y = 40)$。

解决方案

首先，我们看到这道题目中出现了两个随机变量 $X$ 和 $Y$。因此，我们可以考虑使用二维离散随机变量的分布来计算 $P(X = 10, Y = 40)$。

设 $p$ 为选到一个 $0$ 的概率，则 $p = \frac{1}{2}$。因此，选到一个 $1$ 的概率也为 $1-p$。

设 $X$ 表示前25个选出的 $0$ 的个数，则 $X$ 可能取 $0,1,2,\ldots,25$ 中的任意一个值。设 $Y$ 表示前100个选出的 $0$ 的个数，则 $Y$ 可能取$0,1,2,\ldots,100$ 中的任意一个值。

因此，我们可以列出二维离散随机变量 $(X,Y)$ 的分布列：

| X/Y | 0 | 1 | 2 | $\cdots$ | 24 | 25 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | 0 | $(\frac{1}{2})^{25}$ | $25(\frac{1}{2})^{25}$ | $\binom{2\times 25}{2}(\frac{1}{2})^{50}$ | $\cdots$ | $\binom{25\times 25}{24}(\frac{1}{2})^{600}$ | $\binom{2\times 25}{25}(\frac{1}{2})^{625}$ | | 1 | $0$ | $\binom{1\times 25}{1}(\frac{1}{2})^{25}$ | $\binom{1\times 24+1\times 25}{1\times 25}(\frac{1}{2})^{50}$ | $\cdots$ | $\binom{24\times 25+1\times 25}{24\times 1}(\frac{1}{2})^{600}$ | $\binom{1\times 25}{1}(\frac{1}{2})^{625}$ | | 2 | $0$ | $0$ | $\binom{2\times 25}{2}(\frac{1}{2})^{50}$ | $\cdots$ | $\binom{23\times 25+2\times 25}{2\times 1}(\frac{1}{2})^{600}$ | $\binom{2\times 25}{25}(\frac{1}{2})^{625}$ | | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\ddots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | | 24 | $0$ | $0$ | $0$ | $\cdots$ | $\binom{1\times 25}{24}(\frac{1}{2})^{600}$ | $\binom{0\times 25+25\times 1}{25\times 1}(\frac{1}{2})^{625}$ | | 25 | $0$ | $0$ | $0$ | $\cdots$ | $0$ | $(\frac{1}{2})^{25}$ |

结合 $P(X = 10, Y = 40) = P(X = 10 \cap Y = 40)$，我们可以得到

$$ P(X = 10, Y = 40) = (\frac{1}{2})^{25}\binom{25}{10}\binom{75}{30} $$

因此，$P(X = 10, Y = 40) = \frac{\binom{25}{10}\binom{75}{30}}{2^{25}}$。

经过简单的计算，我们可以得到：

$$ P(X = 10, Y = 40) \approx 0.083922 $$

因此，所求的概率为 $0.083922$。

总结

通过本篇RD Sharma解决方案，我们学习了如何使用二维离散随机变量的分布来计算特定事件的概率。希望本篇解决方案对大家有所帮助。