9类NCERT解决方案-第5章欧几里得几何概论–练习5.1

简介

这是一个用于解决《9类NCERT-第5章欧几里得几何概论–练习5.1》的解决方案。本方案提供了针对该练习的完整解答。

解题思路

这道题目要求我们使用欧几里得几何中的公理来证明一些简单的几何定理。首先，我们需要理解一些重要的几何公理：

• 点是构成所有几何图形的基本元素。
• 直线和线段由点组成。
• 平面和角由直线、点和线段组成。
• 两点之间可以画一条唯一的直线。
• 通过一点，可以画一条唯一的直线与给定直线平行。
• 两直线如果与第三直线的交角相等，则它们互相平行。
• 三角形的内角和为180度。
• 直角三角形的勾股定理：c² = a²+b²，其中c是斜边的长度，a和b是直角边的长度。

基于以上公理，我们可以使用重要的几何定理来解决这道题目。这些定理包括：

• 直角三角形的高：在直角三角形中，从直角顶点到斜边的距离称为该三角形的高。
• 三角形的中线：连接一个三角形的一个角并且平分相对的边，所得的线段称为该三角形的中线。

使用这些几何公理和定理，我们可以轻松地找到每个问题的解决方案。

代码解答

代码解答如下：

### 5.1.1

**Ques.** 在一个直角三角形的斜边上，一条线段被作为该斜边的中线（图5.1）。请问这条中线的长度等于斜边两边长的哪个代数和？

**Ans.** 我们假设直角三角形的斜边为AB，中线为CD，角ACB为90度，则AC和BC是三角形的其他两边。

根据三角形中线的性质，CD平分AB线段，并且由于角ACB为90度，因此CD垂直于AB。

因此，ACD和BCD是两个直角三角形。如果我们将CD作为高，我们可以计算出斜边的一半，即CD = (1/2)AB。

根据勾股定理，可以得到：

AC² = AB² – BC²

BC² = AB² – AC²

将这些式子带入CD = (1/2)AB，我们可以得到：

CD² = AC² – (1/4)AB² （1）

CD² = BC² – (1/4)AB² （2）

将（1）和（2）相加，我们得到：

2CD² = AC² + BC² - (1/2)AB²

因此，CD² = (1/2)(AC² + BC²) - (1/4)AB²

答案为：(1/2)(AC² + BC²) - (1/4)AB²

### 5.1.2

**Ques.** 在一个等边三角形中，一条线段被作为该三角形的中线（图5.2）。请问这条中线的长度等于这个等边三角形边长的哪个代数和？

**Ans.** 在等边三角形ABC中，每个角为60度。如果我们将AB作为中线，则AC和BC等于AB。

因此，如果我们将AC和BC的长度表示为AB，我们可以计算出中线的长度。根据勾股定理，可以得到：

AB² = AC² + BC²

AB² = AB² + AB²

也就是说：

AC² = (3/4)AB²

BC² = (3/4)AB²

根据三角形中线的性质，我们知道CD平分AB，并且如果我们将CD作为该三角形的高，我们可以计算出AB / 2的长度，也就是：

CD = (1/2)AB

所以，如果我们将AB表示为2x，那么中线的长度为：

CD² = AC² - (1/4)AB²

CD² = (3/4)AB² - (1/4)AB²

CD² = AB² / 2

CD = AB / √2 

现在，将代数式中的AB表示为2x，我们得到：

CD = 2x / √2 

CD = x√2

中线的长度等于等边三角形边长的根号2倍。

答案为：x√2（其中x是等边三角形的边长）


### 5.1.3

**Ques.** 在直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的中线，如图5.3所示。请问，AD²+BD²=？

**Ans.** 我们可以使用勾股定理来求解。

根据CD是斜边AB的中线，我们知道CD等于斜边AB的一半。所以：

AC² = AD² + CD²

BC² = BD² + CD²

由此可得：

AD² + BD² = AC² + BC² - 2CD²

因此，我们只需要找到AC、BC和CD的长度即可。

由于是直角三角形，我们使用勾股定理求解AC和BC：

AC² = AB² - BC²

BC² = AB² - AC²

将这些式子代入CD = (1/2)AB，我们可以得到：

CD² = AC² - (1/4)AB²

CD² = BC² - (1/4)AB²

我们知道AB是斜边的长度，所以AB²等于AC²和BC²的和，即：

AB² = AC² + BC²

将这些式子带入CD² = AC² - (1/4)AB²，我们可以得到：

CD² = (1/4)(2AC² + 2BC² - AB²)

因此，我们可以计算出CD的长度为：

CD = √[(2AC² + 2BC² - AB²) / 4]

现在，我们将AC²和BC²代入CD的式子中，我们得到：

CD = √[(2(AB² - BC²) + 2(AB² - AC²) - AB²) / 4]

CD = √[(2AB² - 2BC² - 2AC²) / 4]

我们可以进一步简化这个式子，得到：

CD = √[(AB² - BC² - AC²) / 2]

接下来，我们将这些长度代入之前的公式，得到：

AD² + BD² = AC² + BC² - 2CD²

AD² + BD² = AB² - (1/2)(AB² - BC² - AC²)

AD² + BD² = (1/2)(AB² + AC² + BC²)

答案为：(1/2)(AB² + AC² + BC²)

请注意，由于这个式子只要求AB、AC和BC的长度，所以它对任何直角三角形都适用。