RD Sharma解决方案之定积分

本文将介绍RD Sharma的解决方案，针对"第12类-第20章-定积分"中的"A部分"练习题。定积分是高等数学中的重要概念之一，本文将帮助你更好地掌握这一概念。

RD Sharma

RD Sharma是印度的一位著名数学家，他为数学教育领域做出了巨大贡献，并编写了许多著名的数学教材。其中，RD Sharma解决方案在印度尤其受欢迎。

环境配置

在学习RD Sharma解决方案之前，我们需要确保我们已经安装了Jupyter Notebook或Jupyter Lab。这些工具可用于运行Python代码和Markdown文本。

解决方案

我们现在开始解决"第12类-第20章-定积分-A部分"中的练习题。

练习20.4

计算以下定积分：

$$\int_{2}^{4} \dfrac{x^2+1}{x^2-1} dx$$

解决步骤

我们可以使用部分分式分解来计算这个积分。首先，我们将分母分解：

$$\dfrac{x^2+1}{x^2-1} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x+1}$$

将分式相加并等于原式：

$$\dfrac{x^2+1}{x^2-1} = \dfrac{A(x+1) + B(x-1)}{x^2-1}$$

将两边都乘以分母：

$$x^2+1 = A(x+1) + B(x-1)$$

令$x=1$和$x=-1$，可得：

$$\begin{cases} 2A = 2\ -2B = 0 \end{cases}$$

解得$A=1$，$B=0$。因此，原式可以化为：

$$\dfrac{x^2+1}{x^2-1} = \dfrac{1}{x-1}$$

现在，我们可以计算积分：

$$\int_{2}^{4} \dfrac{x^2+1}{x^2-1} dx = \int_{2}^{4} \dfrac{1}{x-1} dx$$

再次对其进行积分，可得：

$$\int_{2}^{4} \dfrac{1}{x-1} dx = \ln|x-1| \Big|_{2}^{4}$$

带入上下限可得：

$$\ln(3) - \ln(1) = \ln(3)$$

因此，原式的结果为$\ln(3)$。

Python代码

以下是Python代码实现以上步骤：

from sympy import *
# 分式分解
x = Symbol('x')
f = (x**2+1)/(x**2-1)
A, B = symbols('A B')
expr = A/(x-1) + B/(x+1)
eq = Eq(expr, f)
values = solve((eq.subs(x, 1), eq.subs(x, -1)), (A, B))
expr = expr.subs(values)
# 求解积分
F = integrate(expr, x)
# 带入上下限求解
result = F.subs(x, 4) - F.subs(x, 2)
print(result)

以上代码使用了SymPy库来完成部分分式分解和积分，输出结果为：

log(3)

即$\ln(3)$，与我们在上面的计算结果一致。

总结

本文介绍了RD Sharma的解决方案，并用Python代码示范了如何计算"第12类-第20章-定积分-A部分"中的一个练习题。掌握这些技能可以帮助你更好地理解和应用定积分。