多边形
多边形是由一系列闭合的直线段组成的平面图形。例如-三角形，矩形等
特性：
1.具有n个边的多边形的所有角度之和=(n-2)π
2.所有外角的总和= 360°
3.边数= 360°/外角
多边形的分类– 
三角形
三角形是具有三个边的多边形。
区域：
1.面积= 1/2 x基础x高度
2.面积=＆Sqrt; s(sa)(sb)(sc)，其中s = a + b + c / 2
3.面积= rs(其中r为半径)
4.面积= 1/2 x两侧乘积x角度正弦
5.面积= abc / 4R，其中R =圆周半径
三角形的一致性：
1. SAS全等：如果两个边和一个三角形的夹角等于两个边且另一三角形的夹角，则这两个三角形是全等的。
2. ASA一致性：如果两个角度和一个三角形的包含边等于两个角度且另一个三角形的包含边，则三角形是一致的。
3. AAS一致性：如果两个角度和与一个角度相对的边等于另一个三角形的对应角度和边，则这些三角形是一致的。
4. SSS全等：如果一个三角形的三个边等于另一个三角形的三个边，则两个三角形是全等的。
5. SSA同余：如果一个三角形的两个边以及与另一个三角形的较大边相反的角度等于另一个三角形的边以及与另一个三角形的较大边相反的角度，则该三角形是全等的。
三角形的相似性：
1. AAA相似性：如果在两个三角形中，对应的角度相等，则三角形相似。
2. SSS相似度：如果两个三角形的对应边成比例，则它们相似。
3. SAS相似度：如果在两个三角形中，一对对应的边成比例，并且夹角相等，则两个三角形相似。
等边三角形： 
1.高度= a＆Sqrt; 3/2
2.面积=＆的Sqrt;图3a 2/4
3. R(圆周半径)= 2h / 3 = a /＆Sqrt; 3
4. r(半径)= h / 3 = a / 2＆Sqrt; 3
5.在等边三角形正交中心中，中心，外接中心和质心重合。
等腰三角形： 
面积= b / 4＆Sqrt;(4a 2 – b 2 )
其中b =基准面，a =等边
重要条款：
1.中值：将三角形的边的中点连接到相反顶点的线称为弧度。 
- 中位数将三角形分成相等面积的两个部分。
- 三个中线相遇的点称为三角形的质心。
- 三角形的质心以2：1的比例划分每个中位数。
2.海拔高度：从任何顶点绘制到相对侧的垂直线都称为海拔高度。 
- 所有高度在一个点相遇的点称为三角形的正中心。
3.垂直二等分线：与边垂直的线并且将其等分的线是边的垂直二等分线。 
- 侧面的垂直等分线相交的点称为外心。
- 外接点是外接三角形的圆的中心。
4.内心： 
- 将三角形的内角等分的线是该三角形的角平分线。
- 角平分线在称为中心的点相交。
- 中心处任何一侧形成的角度始终比与该侧相对的一半角度大90°。
切线：
1.直接公切线的长度为
=＆Sqrt; [(中心之间的距离) 2- (r 1 – r 2 ) 2 ]
=＆Sqrt; [(O 1 O 2 ) 2 –(r 1 – r 2 ) 2 ]
2.遍历公切线的长度为
=＆Sqrt; [(其中心之间的距离) 2- (r 1 + r 2 ) 2 ]
=＆Sqrt; [(O 1 O 2 ) 2 –(r 1 + r 2 ) 2 ]
样本问题
问题1：正多边形的每个内角是否为108°。多边形的边数为
解决方案：内角= 108°
外角= 180 – 108 = 72
多边形的边数= 360°/外角
= 360°/ 72
= 5
问题2：三角形的角度比例为2：3：5。找到三角形的最小角度。
解决方案：角比2：3：5
然后2x + 3x + 5x = 180
10倍= 180
x = 18
因此，最小角度= 18×2 = 36°
问题3： ∆ABC的两个中值AD和BE与O成直角相交。如果AD = 9cm且BE = 6cm，则BD的长度为
解决方案 ： 
O是质心，将中位数除以2：1。
因此，AO：OD = 2：1
AD = 3单位-> 9厘米
1个-> 3厘米
因此，OD = 3厘米
BE = 3个单位-> 6厘米
因此，BO = 4厘米
∆BOD是直角三角形。
BD 2 = BO 2 + OD 2
BD 2 =(4) 2 +(3) 2
BD 2 = 16 + 9 = 25
BD = 5厘米
问题4：将平行四边形ABCD的边AB生成为E，使得BE = AB，DE在Q处与BC相交。点Q将BC除以比率
解决方案： Acc。质疑
广告|| BC和AB ||直流电
∠1=∠2(对应的交替角度)
∠3=∠4(对应的交替角度)
∠BEQ很常见
通过AAA特性，两者均类似于∆EQB〜∆EDA
因此，EB / EA = EQ / ED = QB / AD
AD = BC＆EA = 2EB
然后1/2 = QB / BC
=> BQ = QC
因此，Q将BC以1：1的比例除。
问题5：在∆ABC中，AB = AC，BA生成为D，使得AC = AD。那么theBCD是
解决方案： Acc。质疑
ABC是等腰三角形。
=>∠C=∠B=θ
=>∠CAD=∠C+∠B=2θ(三角形的外角等于相对的内角之和。)
AC = AD因此，ΔADC也是一个等腰三角形。
在∆ADC中，∠A+∠C+∠D= 180°
2∠C= 180°–2θ(∠C=∠D)
∠C= 90°–θ
CDBCD =θ+ 90°–θ
∠BCD= 90°
问题6：如果O是∆PQR的周长，且∠QOR= 110°，∠OPR= 25°，则thePRQ角为
解决方案 ： 
如果O是外接点，则OP = OR = OQ。
∠OPR= 25°
然后∠PRO= 25°
在∆OQR中
QROQR +∠ORQ+∠QOR= 180°
2∠ORQ= 180°– 110°
∠ORQ= 35°
因此，∠PRQ=∠PRO+∠ORQ
= 25°+ 35°
= 60°
问题7：在∆ABC中，DE || AC，D和E分别是AB和CB上的两个点。如果AB = 20 cm且AD = 8 cm，则BE：CE为
解决方案 ： 
AB = 20厘米，AD = 8厘米
DE ||交流电
那么，∠A=∠D和∠C=∠E
∠B很常见
根据AAA特性，ΔABC〜ΔDBE
因此BD / AD = BE / CE
BE / CE = 12/8
BE / CE = 3/2
因此，BE：CE = 3：2
问题8：三角形∠B和∠C的两个角度的内部等分线之间的角度为110°，则∠A为
解决方案 ： 
角度的内部等分线在Incentre处相交。
ICBIC = 110°
中心处任何一侧形成的角度总是比与该侧相对的一半的角度大90°。
ICBIC = 90°+ 1 /2∠A
1 /2∠A= 110°– 90°
∠A= 20×2 = 40°
问题9：两个长8 cm的平行弦与每个直径10cm的圆之间的距离为
解决方案 ： 
AB = CD = 8厘米
半径= D / 2 = 10/2 = 5厘米
在∆OMB中
OB 2 = OM 2 + MB 2
5 2 = OM 2 + 4 2
OM 2 = 25 – 16
OM = 3厘米
MN = 2 x OM = 2 x 3 = 6厘米
问题10：两个同心圆的半径分别为12cm和13cm。如果较大圆的和弦与较小圆的切线，则该和弦的长度为：
解决方案： Acc。质疑
AO = 13厘米，OD = 12厘米
在∆AOD中
AO 2 = DO 2 + AD 2
13 2 = 12 2 + AD 2
公元2 = 169 – 144
AD = 5厘米
AB = 2xAD = 10厘米
问题11：在以O为中心的圆的直径AB的两个端点处绘制两个切线。如果圆的切线在C点处与Q和R处的其他两个切线相交，则thenQOR的量度为
解决方案： Acc。质疑
在∆OCR和∆RBO中
OC = OB(半径)
RC = RB(同一点的切线)
公关很普遍
根据SSS属性，两者均为∆OCR≅∆RBO
同样，它们也是全等值OCQ≅QAO
然后∠COR=∠ROB= x
和∠AOQ=∠COQ= y
2x + 2y = 180°
x + y = 90°
∠QOR= 90°
问题12：两个相等的圆，其中心为O和O’，在点A和B相交，OO’= 24 cm，AB = 10 cm，则圆的半径为
解决方案 ： 
AB = 10厘米
AC = BC = 5厘米
OC = CO’= 12厘米
直角三角形ΔACO
OA 2 = OC 2 + AC 2
OA 2 = 12 2 + 5 2
OA 2 = 144 + 25
OA = 13厘米
问题13：两个半径为6 cm和3 cm的圆的中心之间的距离为15 cm。圆的遍历公切线的长度为：
解：遍历公切线的长度=＆Sqrt; [(它们的中心之间的距离) 2- (r 1 + r 2 ) 2 ]
=＆Sqrt; [(15) 2- (6 + 3) 2 ]
=＆Sqrt;(225 – 81)
= 12厘米
问题14：如果两个点(0，-5)和(x，0)之间的距离为13个单位，则x的值为：
解决方案：我们知道
(距离) 2 = [(x 2 -x 1 ) 2 +(y 2 – y 1 ) 2 ]
(13) 2 = [(x 2 -0) 2 +(0 –(-5)) 2 ]
169 = x 2 + 25
x = 12个单位